====== Number Theory Problems ======

===== Q.6 =====
有 5 个自然数，任取三个分别计算它们的和分别为 $15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 29$, 求这五个数分别是多少。

&MMA
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<code mathematica>
test[s_] := (Total /@ Subsets[s, {3}] // Sort) == {15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 29}
Select[Subsets[Range[25], {5}], test]
(* {{1, 6, 8, 9, 12}} *)
</code>
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===== Q.5 =====

某数学爱好者玩某种游戏，每局可玩若干次，每次得分可能值为 $0, 7,$ 或 $a$(自然数)。每局中各次得分之和为总积分。
此人曾经得到过这样的总积分：$101,102,103,104,105,106,107$。又知他不可能得到 83 这个总积分。
求 $a$ 的所有可能值。

&MMA
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<code mathematica>
test1[n_] := AllTrue[Solve[7 x + n y == #, {x, y}, NonNegativeIntegers]& /@ Range[101, 107], # != {} &];
test2[n_] := Solve[7 x + n y ==83, {x, y}, NonNegativeIntegers] == {};
Select[Range[107], test1[#] && test2[#]&] 
(* {15} *)
</code>
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&PP
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总积分是 $7$ 和 $a$ 的线性组合: $S=7x+ay$.

由 $101,102,103,104,105,106,107$ Mod $7$ 的结果构成集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6\}$ 可知 $7$ 与 $a$ 互质，
从而 $\{a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a\} Mod 7$ 结果构成集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6\}$。

$ 83\equiv 6(Mod\ 7)$, 如果 $6a \leq 83$, 则 $83$ 可以写成 $a*N+7*M$,与总积分不可能是83矛盾，
所以 $6a>83 \Rightarrow a \geq 14$, 14与7不互质，所以 $a \geq 15$.


如果 $6a > 107$, 则 $101~107$ 中至少有一个数不能写成 $a*N+7*M$，与题意矛盾，
所以 $6a\leq 107 \Rightarrow a\leq17$

分别在 $a=\{15,16,17\}$ 时，对方程 $7x+ay=83$ 求整数解，得仅 $a=15$时，无整数解。

所以 $a=15$.

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===== Q.4 =====
a,b 是非零自然数,满足下列两个条件的分数 a/b 有 ___ 个不同的值: (1) b %%<=%% 50; (2) 1/7 < a/b < 2/13。

&MMA
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<code mathematica>
Tuples[Range[1, 50], 2] // Select[(1/7 < #[[1]]/#[[2]] < 2/13) &] // CountDistinct
(* 9 *)
</code>
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===== Q.3 =====
一个正整数的立方是四位数，它的四次方是一个六位数，这里用到的十个数字，恰是 0~9 各出现一次，求这个正整数。

&MMA
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<code mathematica>
Range[Max[1000^(1/3), 100000^(1/4)] // Ceiling, Min[9999^(1/3), 999999^(1/4)] // Floor] // 
  Select[(Join[IntegerDigits[#^3], IntegerDigits[#^4]] // CountDistinct) == 10 &]
(* {18} *)
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===== Q.2 =====
将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，新数比原数大8802，求原数。

&MMA
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<code mathematica>
Reduce[
  FromDigits[{d, c, b, a}] - FromDigits[{a, b, c, d}] == 8802 && 
  x == FromDigits[{a, b, c, d}] &&
  0 < a < 10 && b < 10 && c < 10 && 0 < d < 10,
  {x}, NonNegativeIntegers
]
(* a == 1 && b == 0 && c == 9 && d == 9 && x == 1099 *)
</code>
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===== Q.1=====
Find the 2024th natural number containing an even number of even digits. (For example, number 1 contains 0 even digits so 1 counts, number 2 contains 1 even digit so 2 doesn't count, and number 1234 contains 2 even digits so it counts too.)

&PP
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对于任意自然数n，[10n, 10n+9] 中包含 5 个符合要求的数字，所以 0-4039 中包含 404*5 = 2020 个符合要求的数。我们继续往下数四个：4040，4042，4044，4046。所以 4046 即为所求数。
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&MMA
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<code mathematica>
Select[Range[5000], EvenQ[Length[Select[IntegerDigits[#], EvenQ]]]&][[2024]]
(* 4046 *)
</code>
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&RKT
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<code racket>
(require mathoak)
(define (eoe? x) (even? (count even? (integer->digits x))))
(list-ref (filter eoe? (range 5000)) 2023)
;; 4046
</code>
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