Number Theory Problems

test[s_] := (Total /@ Subsets[s, {3}] // Sort) == {15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 29}
Select[Subsets[Range[25], {5}], test]
(* {{1, 6, 8, 9, 12}} *)

test1[n_] := AllTrue[Solve[7 x + n y == #, {x, y}, NonNegativeIntegers]& /@ Range[101, 107], # != {} &];
test2[n_] := Solve[7 x + n y ==83, {x, y}, NonNegativeIntegers] == {};
Select[Range[107], test1[#] && test2[#]&] 
(* {15} *)

总积分是 $7$ 和 $a$ 的线性组合: $S=7x+ay$.

由 $101,102,103,104,105,106,107$ Mod $7$ 的结果构成集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6\}$ 可知 $7$ 与 $a$ 互质， 从而 $\{a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a\} Mod 7$ 结果构成集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6\}$。

$ 83\equiv 6(Mod\ 7)$, 如果 $6a \leq 83$, 则 $83$ 可以写成 $a*N+7*M$,与总积分不可能是83矛盾， 所以 $6a>83 \Rightarrow a \geq 14$, 14与7不互质，所以 $a \geq 15$.

如果 $6a > 107$, 则 $101~107$ 中至少有一个数不能写成 $a*N+7*M$，与题意矛盾， 所以 $6a\leq 107 \Rightarrow a\leq17$

分别在 $a=\{15,16,17\}$ 时，对方程 $7x+ay=83$ 求整数解，得仅 $a=15$时，无整数解。

所以 $a=15$.

Tuples[Range[1, 50], 2] // Select[(1/7 < #[[1]]/#[[2]] < 2/13) &] // CountDistinct
(* 9 *)

Range[Max[1000^(1/3), 100000^(1/4)] // Ceiling, Min[9999^(1/3), 999999^(1/4)] // Floor] // 
  Select[(Join[IntegerDigits[#^3], IntegerDigits[#^4]] // CountDistinct) == 10 &]
(* {18} *)

Reduce[
  FromDigits[{d, c, b, a}] - FromDigits[{a, b, c, d}] == 8802 && 
  x == FromDigits[{a, b, c, d}] &&
  0 < a < 10 && b < 10 && c < 10 && 0 < d < 10,
  {x}, NonNegativeIntegers
]
(* a == 1 && b == 0 && c == 9 && d == 9 && x == 1099 *)

对于任意自然数n，[10n, 10n+9] 中包含 5 个符合要求的数字，所以 0-4039 中包含 404*5 = 2020 个符合要求的数。我们继续往下数四个：4040，4042，4044，4046。所以 4046 即为所求数。

Select[Range[5000], EvenQ[Length[Select[IntegerDigits[#], EvenQ]]]&][[2024]]
(* 4046 *)

(require mathoak)
(define (eoe? x) (even? (count even? (integer->digits x))))
(list-ref (filter eoe? (range 5000)) 2023)
;; 4046